Question

20．（本小题满分14分）
已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；
（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．
 

Answer 1

,

20．（本小题满分14分）
(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识，考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)
解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.
由已知条件，得，
∴
解得 .
所以椭圆的方程为：.                  …………分
（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，
故可设直线的方程为 ，，
由   
消去并整理得，
∴  .                                  …………分
∵抛物线的方程为，求导得，
∴过抛物线上、两点的切线方程分别是
， ，
即 ，  ，
解得两条切线、的交点的坐标为，即，……分
∴
∴.                                                      …………分
（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，
设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.
令得，，
解得或 ，                                    …………分
故不妨取，即直线过点.
综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点.
此时，两切线的方程分别为和.             …………分
抛物线与切线、所围成图形的面积为
 .