题目内容

当x∈(0,)时,证明tanx＞x.

思路分析：首先构造函数f(x)=tanx-x,然后判断f(x)在(0,)上的单调性.

证明：设f(x)=tanx-x,x∈(0,).

∴f′(0)==tan2x＞0.

∴f(x)在(0,)上为增函数.

又∵f(x)=tanx-x在x=0处可导且f(0)=0,

∴当x∈(0,)时,f(x)＞f(0)恒成立,即tanx-x＞0.

∴tanx＞x.

    深化升华 对于tanx的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函数的导数,然后根据运算法则求导.

练习册系列答案
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已知函数f(x)=ax2+
1
x
-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2，总有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．
已知函数f（x）=xex，其中x∈R．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（x0，x0ex0）处的切线方程
（Ⅱ）如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线
（1）当-2＜a＜0时，证明：-
1e2
（a+4）＜b＜f（a）；
（2）当a＜-2时，写出b的取值范围（不需要书写推证过程）．
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
（2013•唐山一模）已知函数f(x)=
mx+nex
在x=1处取得极值e-1．
（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；
（II）当x＞0 时，试证：f（1+x）＞f（1-x）．
已知函数f（x）=x2+
2
x
+alnx（x＞0），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式
1
2
[f（x1）+f（x2）≥f（
x1+x2
2
）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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