题目内容

已知函数f（x）=x2+
2
x
+alnx（x＞0），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式
1
2
[f（x1）+f（x2）≥f（
x1+x2
2
）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定斜率，求出切点坐标，可得切线l的方程，利用切线l在两坐标轴上的截距相等，即可求得结论；
（Ⅱ）求导函数，利用函数为[1，+∞）上单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥
2
x
-2x2在[1，+∞）上恒成立，求出右边对应函数的最大值，即可求得结论；            
（Ⅲ）由f（x）=x2+
2
x
+alnx，得
1
2
[f（x1）+f（x2）=
1
2
(x
2
1
+
x
2
2
)+
x1+x2
x1x2
+aln
x1x2
，f（
x1+x2
2
）=(
x1+x2
2
)2+
4
x1+x2
+aln
x1+x2
2
，利用基本不等式即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：∵f′(x)=2x-
2
x2
+
a
x
(x＞0)
∴f′（1）=2-2+a=a
∵f（1）=3
∴切线l的方程为y-3=a（x-1），即y=ax-a+3．
∵切线l在两坐标轴上的截距相等，
故①当直线l过原点时，-a+3=0，∴a=3；
②当直线l不过原点时，a=-1
所以a=3或-1．                                                        
（Ⅱ）解：由f（x）=x2+
2
x
+alnx，得f′(x)=2x-
2
x2
+
a
x
(x＞0)
若函数为[1，+∞）上单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x-
2
x2
+
a
x
≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥
2
x
-2x2在[1，+∞）上恒成立  
令g(x)=
2
x
-2x2，上述问题等价于a≥g（x）max
而g(x)=
2
x
-2x2为在[1，+∞）上的减函数，则g（x）max=g（1）=0，
于是a≥0为所求                                                           
（Ⅲ）证明：由f（x）=x2+
2
x
+alnx，得
1
2
[f（x1）+f（x2）=
1
2
(x
2
1
+
x
2
2
)+
x1+x2
x1x2
+aln
x1x2

f（
x1+x2
2
）=(
x1+x2
2
)2+
4
x1+x2
+aln
x1+x2
2

而
1
2
(x
2
1
+
x
2
2
)≥(
x1+x2
2
)2 ①
又(x1+x2)2=
x
2
1
+
x
2
2
+2x1x2≥4x1x2，∴
x1+x2
x1x2
≥
4
x1+x2
  ②
∵
x1x2
≤
x1+x2
2
，∴ln
x1x2
≤ln
x1+x2
2
，
∵a≤0，∴aln
x1x2
≥aln
x1+x2
2
，③
由①、②、③得
1
2
(x
2
1
+
x
2
2
)+
x1+x2
x1x2
+aln
x1x2
≥(
x1+x2
2
)2+
4
x1+x2
+aln
x1+x2
2

即
1
2
[f（x1）+f（x2）≥f（
x1+x2
2
），从而由凹函数的定义可知函数为凹函数
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查新定义，正确理解新定义是关键．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网