Question

10．如图，一个直角三角形两条直角边分别为3cm和4cm，以斜边AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的表面积与体积．

Answer 1

分析 由已知中，AC=3，BC=4，AB=5，可得三角形ABC为直角三角形，我们可以判断出以斜边AB为轴旋转一周，所得旋转体的形状是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；又由该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．

解答 解：∵在三角形ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，
∴三角形ABC为直角三角形，
如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体

∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴CO=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
故此旋转体的体积V=$\frac{1}{3}$•πr²•h=$\frac{1}{3}$•π•CO²•AB=$\frac{48π}{5}$π；
（2）又∵AC=3，BC=4，
故此旋转体的表面积
S=πr•（l+l′）=2πCO•（AC+BC）=$\frac{84π}{5}$

点评 本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积和表面积，其中根据已知判断出旋转所得旋转体的形状及底面半径，高，母线长等关键几何量，是解答本题的关键．