Question

20．设函数f（x）=x³+x，x∈R，若0＜θ＜$\frac{π}{2}$时，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 利用奇函数f（x）=x³+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为msinθ＞m-1恒成立，由0＜θ＜$\frac{π}{2}$可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函数f（x）=x³+x为奇函数；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函数f（x）=x³+x为R上的单调递增函数．
∴f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立?f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
∴msinθ＞m-1（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）恒成立?m（1-sinθ）＜1恒成立，
由0＜θ＜$\frac{π}{2}$知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，$\frac{1}{1-sinθ}$＞1
由m＜$\frac{1}{1-sinθ}$恒成立知：m≤1．
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．