Question

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是

1

2

．
（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记X为落入A袋中小球的个数，试求X=3的概率和X的数学期望EX．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A），
解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可．
（Ⅱ）由题 意知，此问题是一个二项分布的问题，故直接用公式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，
所以有P（B）=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

，
∴P（A）=

3

4

解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．
∴P（A）=C₃¹(

1

2

)3+C₃²(

1

2

)3=

3

4

（Ⅱ）由题意，X～B（4，

3

4

）
所以有P（X=3）=

C

3 4

(

3

4

)3(

1

4

)1=

27

64

∴EX=4×

3

4

=3

点评：本题 考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，以及利用二项分布模型求概率及求期望值．属于概率中的基本题型．