题目内容
（2012•信阳模拟）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是| 1 | 2 |
（Ⅰ）求小球落入A袋的概率P（A）及落入B袋中的概率P（B）．
（Ⅱ）在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，试求ξ=3时的概率，并求ξ的期望和方差．
分析：（Ⅰ）由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率P（B），由P（A）+P（B）=1求P（A），
（Ⅱ）由题意知，此问题是一个二项分布的问题，故直接用公式求解即可．
（Ⅱ）由题意知，此问题是一个二项分布的问题，故直接用公式求解即可．
解答：解：（Ⅰ）记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，
所以有P（B）=（
）3+（
）3=
，
∴P（A）=
（Ⅱ）由题意，ξ～B（4，
）
所以有P（ξ=3）=
×(
)3×
=
∴Eξ=4×
=3，Dξ═4×
×
=
所以有P（B）=（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴P（A）=
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）由题意，ξ～B（4，
| 3 |
| 4 |
所以有P（ξ=3）=
| C | 3 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 27 |
| 64 |
∴Eξ=4×
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，以及利用二项分布模型求概率及求期望值．属于概率中的基本题型．
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