Question

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在整个下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

．
（Ⅰ）求小球落入B袋中的概率P（B）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入2个小球，记落入A袋中的小球个数为ξ，试求ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）小球落入B袋中包含两种情形当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时，然后求出两种情形的概率和即可；
（II）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而求出事件A的概率，显然，ξ的取值为0、1、2，列出分布列，根据数学期望的公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入B袋中，故P(B)=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

．                                     …（5分）
（Ⅱ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而P(A)=1-P(B)=1-

1

4

=

3

4

．                     …（8分）
显然，ξ的取值为0、1、2，且P(ξ=0)=

C

0 2

×(

1

4

)2=

1

16

；P(ξ=1)=

C

1 2

(

3

4

)(

1

4

)=

6

16

；P(ξ=2)=

C

2 2

(

3

4

)2=

9

16

．ξ的分布列为

ξ	0	1	2
p	1 16	6 16	9 16

故Eξ=0×

1

16

+1×

6

16

+2×

9

16

=

3

2

．…（12分）
（或由随机变量ξ～B(2，

3

4

)，故Eξ=2×

3

4

=

3

2

．）

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个概率的综合题，解题时注意两问之间的关系．