Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD为矩形，，SA=SD=a．
（1）求证：CD⊥SA；
（2）求二面角S-AC-D的余弦值．
（3）设E为SB的中点，求点B到平面ACE的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC的中点M，AD的中点P．以P为坐标原点，PA为x轴，PM为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明CD⊥SA．
（2）求出平面CSA的一个法向量和平面ADC的一个法向量．利用向量法能够求出二面角S-AC-D的余弦值．
（3）求出平面ACE的法向量和，利用向量法能求出点B到平面ACE的距离．
解答：解：（1）取BC的中点M，AD的中点P．
在△SAD中，SA=SD=a，P为AD的中点，所以，SP⊥AD．
又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．∴PM⊥AD．
如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PM为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，
则S（0，0，a），A（a，0，0），B（a，a，0），
C（-a，a，0），D（-a，0，0）．
∴
因为，
所以CD⊥SA．
（2）设=（x，y，z）为平面CSA的一个法向量，
则有，所以．
SP⊥平面ACD，所以=（0，0，1）为平面ADC的一个法向量．
所以cos＜，＞==，
所以二面角S-AC-D的余弦值为．
（3）∵E为SB的中点，∴E（，，），
∴=（-，，0），=（-，，），
设平面ACE的法向量为=（x₁，y₁，z₁），
则，解得=（，，-），
∵=（0，，0），
∴点B到平面ACE的距离d===．
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．