Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．
（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A-EF-D的平面角，解三角形求二面角A-EF-D的大小．
法二：（1）建立空间直角坐标系，证明

EF

=

AG

，可得EF∥AG，从而EF∥平面SAD．
（2）利用

MD

和

EA

的夹角等于二面角A-EF-D的平面角，根据向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：解法一：
（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连接AG，则FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB，
∴FG平行且等于AE，∴AEFG为平行四边形．
∴EF∥AG，
∵AG?平面SAD，EF?平面SAD．
∴EF∥平面SAD．

（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．
取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．
连接DM，则DM⊥EF．
故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角
∴tan∠DMH=

DH

HM

=

2

．
∴cos∠DMH=

3

3

∴二面角A-EF-D的余弦值为

3

3

．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，

a

2

，0），F（0，

a

2

，

b

2

），
∴

EF

=(-a，0，

b

2

)．
取SD的中点G（0，0，

b

2

），则

AG

=(-a，0，

b

2

)．
∴

EF

=

AG

∴EF∥AG
∵AG?平面SAD，EF?平面SAD．
∴EF∥平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，

1

2

，0），F（0，

1

2

，1）．
∴EF中点M（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

MD

=(-

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)，

EF

=(-1，0，1)
∴

MD

•

EF

=0
∴MD⊥EF
又

EA

=（0，-

1

2

，0），∴

EA

•

EF

=0
∴EA⊥EF，
∴

MD

和

EA

的夹角等于二面角A-EF-D的平面角．
∵cos＜

MD

，

EA

＞=

MD • EA

| MD || EA |

=

3

3

．
∴二面角A-EF-D的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查向量知识的运用，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．