Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点
（1）求证：EF∥平面SAD
（2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小．

Answer 1

分析：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．
（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A-EF-D的平面角，解三角形求二面角A-EF-D的大小．
法二：建立空间直角坐标系，

EF

=

AG

，EF∥AG，AG?平面SAD即可证明（1）；
（2）求出向量

MD

和

EA

，利用cos＜

MD

，

EA

＞=

MD • EA

| MD |•| EA |

，即可解答本题．

解答：解：法一：
（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连接AG，FG

∥ .

.

1

2

CD，又CD

∥ .

.

AB，
故FG

∥ .

.

AE，AEFG为平行四边形．EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等
腰直角三角形．
取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，
所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．
连接DM，则DM⊥EF．
故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角tan∠DMH=

DH

HM

=

2

1

=

2

．
所以二面角A-EF-D的大小为arctan

2

．

法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E(a，

a

2

，0)，F(0，

a

2

，

b

2

)，

EF

=(-a，0，

b

2

)．
取SD的中点G(0，0，

b

2

)，则

AG

=(-a，0，

b

2

)．

EF

=

AG

，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E(1，

1

2

，0)，F(0，

1

2

，1)．EF中点M(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

MD

=(-

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)，

EF

=(-1，0，1)，

MD

•

EF

=0，MD⊥EF
又

EA

=(0，-

1

2

，0)，

EA

•

EF

=0，EA⊥EF，
所以向量

MD

和

EA

的夹角等于二面角A-EF-D的平面角．cos＜

MD

，

EA

＞=

MD • EA

| MD |•| EA |

=

3

3

．
所以二面角A-EF-D的大小为arccos

3

3

．

点评：半边天考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．