题目内容
已知函数
，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．
【答案】分析：（1）求导函数，可得
，令
得f′（x）=2t2-at+1（t≠0），再进行分类讨论：当△=a2-8≤0，f′（x）≥0恒成立；当△=a2-8＞0，即
时，根据2t2-at+1＞0，及2t2-at+1＜0，即可确定函数的单调性；
（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e2]上是增函数，从而可得函数f（x）在区间[1，e2]上的值．
解答：解：（1）求导函数，可得
令
得f′（x）=2t2-at+1（t≠0）
当△=a2-8≤0，即
时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函数；
当△=a2-8＞0，即
时，
由2t2-at+1＞0得
或
∴x＜0或
或
又由2t2-at+1＜0得
，∴
综上 当
f（x）在（0，+∞）上都是增函数；当
f（x）在
及
上都是增函数，在
是减函数．
（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e2]上是增函数．
又
∴函数f（x）在区间[1，e2]上的值域为
．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
，令
得f′（x）=2t2-at+1（t≠0），再进行分类讨论：当△=a2-8≤0，f′（x）≥0恒成立；当△=a2-8＞0，即
时，根据2t2-at+1＞0，及2t2-at+1＜0，即可确定函数的单调性；（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e2]上是增函数，从而可得函数f（x）在区间[1，e2]上的值．
解答：解：（1）求导函数，可得
令
得f′（x）=2t2-at+1（t≠0）当△=a2-8≤0，即
时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函数；当△=a2-8＞0，即
时，由2t2-at+1＞0得
或
∴x＜0或
或
又由2t2-at+1＜0得
，∴
综上 当
f（x）在（0，+∞）上都是增函数；当
f（x）在
及
上都是增函数，在
是减函数．（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e2]上是增函数．
又
∴函数f（x）在区间[1，e2]上的值域为
．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（a>0，且
，
的定义域； （２）讨论函数
，
(a>0)，若
，
，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是（ ）
(B)
(C)
(D)
（a＞0，且a≠1）
（A＞0，ω＞0，x∈（-∞，+∞））的最小正周期为π，且
，则函数y=f（x）在
上的最小值是（ ）
其中a>0，e为自然对数的底数。
的单调区间；