题目内容
已知双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线第一象限的图象上，且Sin∠PF1F2=
，cos∠PF2F1=-
，则双曲线的离心率为
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
3
| ||
| 5 |
3
| ||
| 5 |
分析：如图所示．由cos∠PF2F1=-
，可得sin∠PF2F1=
．由正弦定理可得
=
，可得
=
=2．又|PF1|-|PF2|=2a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2| |PF1|cos∠PF2F1，代入化简整理即可得出．
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| |PF1| |
| sin∠PF2F1 |
| |PF2| |
| sin∠PF1F2 |
| |PF1| |
| |PF2| |
| ||||
|
解答：
解：如图所示．
∵cos∠PF2F1=-
，∴sin∠PF2F1=
．
由正弦定理可得
=
，∴
=
=2．
又|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a．
由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2| |PF1|cos∠PF2F1，
∴(4a)2=(2a)2+(2c)2-2•2a•2c×(-
)，化为5c2+2
ac-3a2=0，
∴5e2+2
e-3=0，
解得e=
．
故答案为
．
解：如图所示．∵cos∠PF2F1=-
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
由正弦定理可得
| |PF1| |
| sin∠PF2F1 |
| |PF2| |
| sin∠PF1F2 |
| |PF1| |
| |PF2| |
| ||||
|
又|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a．
由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2| |PF1|cos∠PF2F1，
∴(4a)2=(2a)2+(2c)2-2•2a•2c×(-
| ||
| 5 |
| 5 |
∴5e2+2
| 5 |
解得e=
3
| ||
| 5 |
故答案为
3
| ||
| 5 |
点评：本题考查了双曲线的定义、三角函数基本关系式、正弦余弦定理、离心率计算公式等基础知识与基本方法，属于中档题．
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