Question

如图所示一系列数表依次是三项式（a+b+c）ⁿ（n=0，1，2，3，…）展开式系数按一定规律排列所得，可发现数表的第k行共有k个数．依此类推，数表6的第3行第1个数为    ，数表6的第5行第3个数为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，观察数表5中每一行的第一个数，依次为1、4、6、4、1、…，结合（a+b+c）⁴的展开式的知识，可得变化的规律，进而归纳出数表6的规律，可得答案．
解答：解：由（a+b+c）⁴=[（a+b+c）²]²
=[a²+2a（b+c）+（b+c）²]²
=[a²+2a（b+c）+（b+c）²][a²+2a（b+c）+（b+c）²]
=a⁴+2a³（b+c）+a²（b+c）²+2a³（b+c）+4a²（b+c）²+2a（b+c）³+a²（b+c）²+2a（b+c）³+（b+c）⁴
=a⁴+4a³（b+c）+6a²（b+c）²+4a（b+c）³+（b+c）⁴
=a⁴+4a³b+4a³c+6a²b²+12a²bc+6a²c²+4ab³+12ab²c+12abc²+4ac³+b⁴+4b³c+6b²c²+4bc³+c⁴
再对照数表5，可得：
数表5的第3行第1个数6为（a+b+c）⁴展开式中a²b²的系数，数表5的第5行第3个数6也为a²b²的系数，
类似地，可得：
数表6的第3行第1个数为（a+b+c）⁵展开式中a³b²的系数=10，
数表6的第5行第3个数为（a+b+c）⁵展开式中a²b²c的系数=30，
故答案为：10，30．
点评：本题考查点是归纳与类比及三项式的相关运算，同时考查了归纳推理的能力，属于基础题．