Question

17．已知点A是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PF|=m|PA|，则m的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PF|=m|PA|，则$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，即可求得结论．

解答 解：过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，
设PA的倾斜角为α，则sinα=m，
当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴m的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．