Question

求与直线x+2y-1=0切于点A（1，0），且过点B（2，-3）的圆的方程．

Answer 1

分析：设所求圆O方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），由直线x+2y-1=0与圆O相切，根据切线的性质得到切线垂直于过切点的半径，可得直线OA与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线AO的斜率，由A和O的坐标表示出直线AO的斜率，得到关于a与b的关系式，记作①式，把A和B的坐标分别代入圆O的方程，得到两个关于a，b及r的关系式，分别记作②式和③式，联立三式即可求出a，b及r的值，确定出圆的方程．

解答：解：设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
圆心O的坐标为（a，b），半径为r，
由直线x+2y-1=0与圆O相切，可得直线AO与x+2y-1=0垂直，
∵x+2y-1=0的斜率为-

1

2

，∴直线AO的斜率

b

a-1

=2，①
把A的坐标代入圆的方程得：（1-a）²+b²=r²，②
把B的坐标代入圆的方程得：（2-a）²+（-3-b）²=r²，③
联立①②③，解得a=0，b=-2，r=

5

，
则所求圆的方程为x²+（y+2）²=5．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，点与圆的位置关系，利用的方法是待定系数法，当直线与圆相切时，切线垂直于过切点的直径，熟练掌握此性质是解本题的关键．