Question

设f（x）=

x

a(x+2)

，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=

1

1003

，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求实数a；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若a_n=

4

xn

-4009，（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）f（x）=x变形为x=0或

1

a(x+2)

=1，解得可得a值
（2）由（1）可求出f（x）的解析式，结合f（x₁）=

1

1003

，x_n+1=f（x_n）可得数列{

1

xn

}为等差数列，并能求出数列{x_n}的通项公式．
（3）由

4

xn

-4009，结合（2）中结论，可求出数列{a_n}的通项公式

解答：解：（1）f（x）=x变形为 x=0或

1

a(x+2)

=1
∵f（x）=x有唯一解，
∴x=0应为

1

a(x+2)

=1的根
解得：a=

1

2

，
（2）由（1）得
∴f（x）=

2x

x+2

f（x_n）=x_n+1，即x_n+1=

2xn

xn+2

，
∴

1

xn+1

=

1

xn

+

1

2

，
∴{

1

xn

]为公差为

1

2

的等差数列
又∵f（x₁）=

1

1003

=

2x1

x1+2

∴

1

x1

=

2005

2

∴

1

xn

=

n+2008

2

，
∴x_n=

2

n+2008

（3）a_n=

4

xn

-4009=4×

1

xn

-4009=2（n+2008）-4009=2n-1

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．