Question

【题目】已知函数．

（1）若，求的值；

（2）若存在，使函数的图像在点和点处的切线互相垂直，求的取值范围；

（3）若函数在区间上有两个极值点，则是否存在实数，使对任意的恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)存在，.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立方程求解；(2)借助题设依据导数知识建立函数求解；(3)借助题设条件运用二次函数的知识建立不等式组探求.

试题解析：

（1）由得，

，解得

（2）函数的定义域为，，，

由题意得，即，

整理得，

设，由，得，

则有，

设，则在上有零点，

考虑到，

所以或，解得或，

所以的取值范围是

（3），

令，由题意，在区间上有两个不同零点，

则有，解得

设函数的两个极值点为和，

则和是在区间上的两个不同零点，

不妨设，则①，

得且关于在上递增，

因此

又由①可得②，

当时，递减；

时，递增；

当时，递减，

结合②可得

设，

则，

所以在上递增，

所以，从而，

所以，

又，所以存在，使，

综上，存在满足条件的，的取值范围为