Question

（20）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD.

       

(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小；

(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.

Answer 1

解法一：

    ∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．

    又PB⊥PD，BO=2，PO=，

    由平面几何知识得：  OD=1，PD=，PB＝．

    (Ⅰ)过D作DE∥BC交于AB于E．连结PE，则

    ∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角．

   

    ∵四边形ABCD是等腰梯形，

    ∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB，

    ∴BC=，AB=2，CD=

    又AB∥DC，

    ∴四边形EBCD是平行四边形．

    ∴ED=BC=，BE=CD=．

    ∴E是AB的中点，且AE=．

    又PA=PB=，

    ∴△PEA为直角三角形．

    ∴PE=．

    在△PED中，由余弦定理得：

    cos∠PDE=．

    故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为.

    (Ⅱ)连结OE，由(Ⅰ)及三垂线定理知，∠PEO为二面角P-AB-C的平面角．

    ∴sin∠PEO=，

    ∴∠PEO=45°．

    ∴二面角P-AB-C的大小为45°．

    (Ⅲ)连结MD，MB，MO，

   

    ∵PC⊥平面BMD，OM平面BMD，

    ∴PC⊥OM．

    又在Rt△POC中，

    PC=PD=，OC=1，PO=，

    ∴PM=，MC=，

    ∴=2.

    故λ=2时，PC⊥平面BMD．

解法二：

   

    ∵PO⊥平面ABCD，

    ∴PO⊥BD．

    又PB⊥PD，BO＝2，PO=，

    由平面几何知识得：

    OD＝OC＝1，BO＝AO＝2．

    以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(-1，0，0)，D(0，-1，0)，P(0，0，)．

    （Ⅰ）∵=（0，-1，-），=（-1，-2，0），

    ∴||=，||=，·=2.

   

                        =

    故直线PD与BC所成的角的余弦值为．

    (Ⅱ)设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，z)，

    由于=(-2，2，0)，=(-2，0，)，

    由

    得 

    取n=(1，1，)，又易知平面ABCD的一个法向量m＝(0，0，1)，

   

    又二面角P-AB-C为锐角，

    ∴所求二面角P-AB-C的大小为45°.

    (Ⅲ)设M(x₀，0，z₀)，由于P，M，C三点共线，

    z₀=x₀+    (1)

    ∵PC⊥平面BMD，

    ∴OM⊥PC．

    ∴(-1，0，-)·(x₀，0，z₀)=0

    ∴x₀+z₀=0    (2)

    由(1)(2)知：

    x₀=-，z₀=.

    ∴M(-，0，).

    ∴λ＝＝2.

    故λ=2时，PC⊥平面BMD．