Question

已知两个向量a与b，求证：｜a＋b｜＝｜a－b｜的充要条件是a的方向与b的方向垂直．

Answer 1

答案：
解析：

证明：①充分性： 　　如图，设＝a，＝b，使⊥， 　　以OA、OB为邻边的平行四边形OBCA为矩形， 　　则｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜． 　　∵四边形OBCA为矩形，∴｜｜＝｜｜． 　　∴｜a＋b｜＝｜a－b｜． 　　②必要性： 　　设＝a，＝b，以OA、OB为邻边也作平行四边形， 　　则｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜． 　　∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴｜｜＝｜｜． 　　∴平行四边形OBCA为矩形． 　　∴a的方向与b的方向垂直． 　　∴｜a＋b｜＝｜a－b｜的充要条件是a的方向与b的方向垂直． 　　分析：由向量运算的平行四边形法则知｜a＋b｜、｜a－b｜是以a、b为边的平行四边形对角线的长度，可由方向垂直转化为a与b对应边的垂直．

提示：

因向量的运算与平面几何中的平行四边形、三角形有密切的关系，两者相互运用．能使向量或平面几何问题的处理简单化．