Question

已知两个向量a与b。求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是：a的方向与b的方向垂直。

Answer 1

答案：
解析：

［证明］（1）充分性：设，，以OA、OB为邻边作矩形OBCA，则，因为四边形OBCA为矩形，所以，，所以，|a+b|=|a+b| （2）必要性：设，，使以OA、OB为邻边作平行四边形OBCA，则， 因为|a+b|=|a-b|，所以。 又因为OBCA是平行四边形，所以OBCA为矩形。所以a的方向与b的方向垂直。