Question

19．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求$\sqrt{3}$b-c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcosA=$\sqrt{3}$sinAsinB，由sinB≠0，可得：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合范围A∈（0，π），即可求A的值．
（2）由正弦定理可得：b=8sinB，c=8sinC，利用两角和的正弦函数公式化简可得$\sqrt{3}$b-c=8sin（B-$\frac{π}{6}$），由范围B∈（0，$\frac{5π}{6}$），可得B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$．
∴由正弦定理可得：sinBcosA=$\sqrt{3}$sinAsinB，
∵B为三角形内角，sinB≠0，
∴可得：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a=4，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，可得：b=8sinB，c=8sinC，
∴$\sqrt{3}$b-c=8（$\sqrt{3}$sinB-sinC）=8（$\sqrt{3}$sinB-sin（$\frac{5π}{6}$-B））=8sin（B-$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{5π}{6}$），B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$b-c=8sin（B-$\frac{π}{6}$）≤8，即最大值为8．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．