Question

过点（1，0）直线l交抛物线y²=4x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线的顶点是O．
（ⅰ）证明：

OA

•

OB

为定值；
（ⅱ）若AB中点横坐标为2，求AB的长度及l的方程．

Answer 1

分析：（ⅰ）利用直线l过点（1，0），可设直线l的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，利用韦达定理得关系式，再将向量用坐标表示，即可证得；
（ⅱ） 首先可知斜率存在，可设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，根据AB中点横坐标为2，可得方程

2(k2+2)

k2

=4，进而可求斜率，从而可求AB的长度及l的方程．

解答：证明：（ⅰ）设直线l的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
∴y₁y₂=-4，∴x1x2=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

=1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3为定值；
解：（ⅱ） l与X轴垂直时，AB中点横坐标不为2，
设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵AB中点横坐标为2，∴

2(k2+2)

k2

=4，∴k=±

2

，
l的方程为y=±

2

(x-1)．
|AB|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

=4+2=6，AB的长度为6．

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，有一定的综合性．