Question

（本小题满分12分）

如图，已知在坐标平面xOy内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一点，△PMN的面积为，点A的坐标为(1+)， =m· (m为常数),

 

(1)求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；

(2)过点B(-1，0)的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=-4于点E，点B、E分的比分别为λ1、λ2,求λ1+λ2的值。

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1)设M(-c,0),N(c,0)(c>0),P(x0,y0),则=(2c,0)·(x0,y0)=2cx0,

2cx0=2c,故x0=1.                                                             ①

又∵S△PMN= (2c)|y0|=,y0=.                                             ②

∵=(x0+c,y0),=(1+),由已知(x0+c,y0)=m(1+),即. 

故(x0+c)=(1+)y0.                                   ③

将①②代入③，(1+c)=(1+)·,c2+c-(3+)=0,(c-)(c++1)=0,

∴c=,y0=.                                                 

设椭圆方程为=1(a>b>0).

∵a2=b2+3,P(1,)在椭圆上，

∴=1.故b2=1,a2=4.

∴椭圆方程为+y2=1.                                                       6分

(2)①当l的斜率不存在时，l与x=-4无交点，不合题意.

②当l的斜率存在时，设l方程为y=k(x+1)，

代入椭圆方程+y2=1,

化简得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.                                                 8分

设点C(x1,y1)、D(x2,y2)，则

∵-1=，

∴λ1=.                                               9分

λ1+λ2=［2x1x2+5(x1+x2)+8］,

而2x1x2+5(x1+x2)+8=2·+5·(8k2-8-40k2+32k2+8)=0,

∴λ1+λ2=0.                                                               12分

22、（文）解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-4-2an-1+4,

即得an=2an-1,

当n=1时,a1=S1=2a1-4=4,∴an=2n+1.                                            3分

∴bn+1=2n+1+2bn.∴=1.

∴{}是以1为首项,以1为公差的等差数列.

∴=1+(n-1)×1=n∴bn=n·2n.                                               6分

(2)Tn=1·2+2·22+…+n·2n,                                              ①

2Tn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,                                       ②

①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=n·2n+1,

∴Tn=(n-1)·2n+1+2.                                                12分

 

【解析】略