题目内容

设 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 为非零向量，下列等恒成立的个数有
①（ $数学公式$ • $数学公式$ ）• $数学公式$ =（ $数学公式$ • $数学公式$ ）• $数学公式$ ；②[（ $数学公式$ • $数学公式$ ）• $数学公式$ -（ $数学公式$ • $数学公式$ ）• $数学公式$ ]• $数学公式$ =0；
③ $数学公式$ ²- $数学公式$ ²=（ $数学公式$ + $数学公式$ ）（ $数学公式$ - $数学公式$ ）；④ $数学公式$ + $数学公式$ =（ $数学公式$ + $数学公式$ ）（ $数学公式$ - $数学公式$ • $数学公式$ + $数学公式$ ）．

A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个

C
分析：在（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ 中，（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）与（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）是实数，而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 方向可能不同，故①式不一定成立；由向量的数量积运算法则，可验证②式成立，同理，也可验证③④成立．
解答：（1）设（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =λ' $\text{[math]}$ （其中λ，λ'∈R）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 方向可能不同，故①式不一定成立；
（2）∵[（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ ]• $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）=0，∴②式恒成立；
（3）∵（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，∴③式恒成立；
（4）∵（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，∴④式恒成立；
故选C．
点评：本题考查了平面向量数量积的定义，数量积的运算法则及其应用，是基础题．