Question

（本小题满分12分）椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线与y轴交于点P（0，），与椭圆C交于相异两点A、B，且。

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）求的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：第一问中由短轴长可以求出的值，根据椭圆的离心率，可以得出和的值，从而得出椭圆的方程，对于第二问，先将直线的方程设出来，与椭圆的方程联立，消元，设出两个交点的坐标，根据向量的关系，得出两个坐标之间的关系，从而得到方程两个根之间的关系，再根据韦达定理，找出关于斜率和截距的关系式，由方程有两个根，应用判别式大于零，找出相应的不等式，从而求出结果.

试题解析：（I）设C：设

由条件知，，

∴ 3分

故C的方程为： 4分

（Ⅱ）设与椭圆C交点为A（），B（）

由得

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

（*）

8分

∵ ∴ ∴

消去，得，∴

整理得 10分

时，上式不成立； 时，，

由（*）式得

因 ∴，∴或

即所求的取值范围为 12分

考点：椭圆的方程，直线与椭圆相交问题的转换，向量的坐标关系.