Question

已知椭圆C的方程是（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，
左焦点坐标为（-4，0），且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知a²=b²+16，即椭圆的方程为，由点在椭圆上，知，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由A（-6，0），F（4，0），，知，，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．
解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），∴a²=b²+16，
即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，∴，
解得b²=20或b²=-15（舍），由此得a²=36，
所以，所求椭圆C的标准方程为．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），F（4，0），又，则得，
所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，
而，所以PQ的斜率为，
因此，过P点引圆M的切线方程为：，即
令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以，因此，所求的图形面积是S=S_△PQM-S_扇形MPF=．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．