Question

已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
（1）试求椭圆M的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，能求出椭圆M的方程．
（2）设直线l的方程为：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立直线l的方程与椭圆方程，得x²+bx+b²-3=0，当△＞0时，即b²-4（b²-3）＞0，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理，得：，由此能够得到k₁+k₂为定值．
解答：解：∵椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
∴a=2，c=1，b=，
∴椭圆M的方程为．
（2）设直线l的方程为：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立直线l的方程与椭圆方程，得：

①代入②，得：，
化简，得：x²+bx+b²-3=0，③
当△＞0时，即b²-4（b²-3）＞0，
即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点，
由韦达定理，得：，
∴=，
=，
∴k₁+k₂=+
=
==0，
∴k₁+k₂为定值．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．