Question

如图，A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，已知椭圆的离心率为e，右准线l的方程为x=m．
（1）若e=

1

2

，m=4，求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰过原点，求e．

Answer 1

分析：（1）由e=

1

2

，右准线l的方程为x=4，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆的方程；
（2）根据题意，可得A，M，P三点共线，MQ⊥PQ，由此可得几何量之间的关系，从而可求离心率．

解答：解：（1）由题意：

c a = 1 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 3

．∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．            …（6分）
（2）设M(x，y)，P(

a2

c

，β)，
∵A，M，P三点共线，∴

y

x+a

=

β

a2 c +a

，∴β=

y( a2 c +a)

x+a

，…（9分）
∴-1=kOPkBM=

cy( a2 c +a)

a2(x+a)

•

y

x-a

=

y2(a+c)

a(x2-a2)

=

b2(a+c)

-a3

=

(a2-c2)(a+c)

-a3

，
∴c²+ac-a²=0
∴e²+e-1=0，解得e=

5 -1

2

．…（16分）

点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．