题目内容

设α∈(0，
π
2
)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(
x+y
2
)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．
（Ⅰ）求f(
1
2
)，f(
1
4
)；
（Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求g(x)=
3
sin(α-2x)+cos(α-2x)的单调增区间．
（Ⅰ）令x=1，y=0，f(
1
2
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
令x=
1
2
，y=0，f(
1
4
)=f(
1
2
)sinα=sin2α．
（Ⅱ）令x=1，y=
1
2
，f(
3
4
)=f(1)sinα+(1-sinα)f(
1
2
)
=sinα+（1-sinα）sinα
=-sin2α+2sinα．
令x=
3
4
，y=
1
4
，f(
1
2
)=f(
3
4
)sinα+(1-sinα)f(
1
4
)=-2sin3α+3sin2α
∴-2sin3α+3sin2α=sinα
∴sinα=
1
2

∵α∈(0，
π
2
)
∴α=
π
6
；
（Ⅲ）g(x)=
3
sin(
π
6
-2x)+cos(
π
6
-2x)
=2sin(
π
6
-2x+
π
6
)=2sin(
π
3
-2x)=2sin(2x+
2π
3
)
要使g（x）单调增区间，
则2kπ-
π
2
≤2x+
2π
3
≤2kπ+
π
2
?k∈z
∴单调增区间是：[kπ-
7π
12
，kπ-
π
12
]?(k∈z)．
练习册系列答案
相关题目
（2011•杭州一模）设α∈(0， 
π
2
)．若tanα=
1
3
，则cosα=
3
10
10
3
10
10
．
设0≤x≤2，求当x为何值时，函数y=4x-
12
-2x+1+5取最大值，并求出最大值．
设0≤x≤2π，且|cosx-sinx|=sinx-cosx，则x的取值范围为
[
π
4
，
5π
4
]
[
π
4
，
5π
4
]
．
（2009•黄浦区二模）设α∈(0，
π
2
)，则
3+2sinαcosα
sinα+cosα
的最小值是
2
2
2
2
．
已知函数f（x）=Asin（ωx-
π
6
）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α∈(0，
π
2
)，f（
α
2
）=
11
5
，求cosα的值．

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