Question

有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有A，B，C，D，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为A面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为B，C，D中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P_n（n∈N）．
（Ⅰ）求P，P₁，P₂；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）理解P，P₁，P₂的含义分别计算即可；
（Ⅱ）棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出后得到A面，第二种，棋子先到第 n-1站，又掷出后得到B，C，D 中的一面，
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，转化为等比数列，再用累加法求解
解答：解：（1）依题意，得P=1，P₁=，P₂=
（Ⅱ）设棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出后得到A面，其概率为；第二种，棋子先到第 n-1站，又掷出后得到B，C，D 中的一面，其概率为，由于以上两种可能是互斥的，所以，即有
（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列 {P_n-P_n-1}是首项为P₁-P=，公比为 的等比数列．
于是有，．
把以上各式相加，得．
因此，获胜的概率为
点评：将概率与数列联系起来，关键是合理地将问题等价转化，构造新数列，从而利用等比数列的求和公式进行求解．