Question

已知数列．
（Ⅰ）证明：{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵=，
∴b_n-b_n-1=1（n≥2），
∴{b_n}是公差为1，首项为的等差数列…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=2+（n-1）•1=n+1，
即，
∴，
∴，…（6分）
令，
∴，
∴==4+2ⁿ⁺¹-4-n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴，∴．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
=…（12分）
∴，
依题意有，
解得-1＜m＜6，
故所求最大正整数m的值为5…（14分）
分析：（I）由已知中，化简可得b_n-b_n-1=1，进而根据等差数列的定义可得结论
（II）由（I）求出数列{a_n}的通项公式，进而利用错位相减法，可得答案．
（III）结合（I）的结论，求出数列{c_n}的通项公式，进而利用裂项相消法，求出数列{c_n}的前n项和T_n，进而求出m的值，
点评：本题考查的知识点是数列求和，数列的应用及等差关系的确定，其中（I）的关键是熟练掌握定义法求证等差数列的步骤，（II）（III）的关键是熟练掌握错位相减法和裂项相消法的适用范围及方法步骤．