Question

【题目】（1）已知：“直线与圆相交”； ：“有一正根和一负根”.若为真， 为真，求的取值范围.

（2）已知椭圆： 与圆： ，双曲线与椭圆有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切.求双曲线的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）先求出命题， 的等价条件，然后利用若为真，非为真，即可求出实数的取值范围；（2）由椭圆方程求得双曲线的焦点坐标，设双曲线的方程为（， ），从而得到双曲线的渐近线方程，利用圆心到两条渐近线的距离为圆的半径，即可求得， 的值，从而得到双曲线的方程.

试题解析：（1）对：∵直线与圆相交，

∴，∴

对：方程有一正根一负根，

∴令

∴或解得

又∵为真

∴假

又∵为真

∴为真

∴由数轴可得，则的取值范围是

（2）椭圆： 的两个焦点为、

∴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且

设双曲线的方程为（， ），则的渐近线方程为，

即，且

又∵圆心为，半径为

∴

∴，

∴双曲线的方程为