Question

在直角梯形ABCD中，如图，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB＝a（如图（1）），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为γ．

（Ⅰ）若二面角α—AC—β为直二面角（如图（2）），求二面角β—BC—γ的大小；

（Ⅱ）若二面角α—AB—β为60°（如图（3）），求三棱锥D′—ABC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，如图1 ∴AC＝a，∠CAB＝45°． 过C作CH⊥AB，由AB＝2a， 可推得AC＝BC＝a．  ∴AC⊥BC 取AC的中点E，连结D′E，  则D′E⊥AC． 又∵二面角α—AC—β为直二面角，  ∴D′E⊥β． 又∵BC平面β，  ∴BC⊥D′E， ∴BC⊥α，而D′Cα  ∴BC⊥D′C ∴∠D′CA为二面角β—BC—γ的平面角． 由于∠D′CA＝45°， ∴二面角β—BC—γ为45°． （Ⅱ）取AC的中点E，连结D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连结OE， ∵AC⊥D′E，  ∴AC⊥OE， ∴∠D′EO为二面角α—AC—β的平面角，如图2 ∴∠D′EO＝60°． 在Rt△D′OE中， D′E＝a，D′O=a·sin60°=a ∴VD′—ABC＝S△ABC·D′O ＝×AC·BC·D′O ＝．