题目内容

设抛物线过定点A（-1，0），且以直线x=1为准线
（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x=- $数学公式$ 平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围

解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为G（x，y），则其焦点为F（2x-1，y）由抛物线的定义可知：|AF|=点A到直线x=1的距离为2，
所以， $\text{[math]}$ =2
所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为x²+ $\text{[math]}$ =1（x≠1）
（Ⅱ）显然，直线l与坐标轴不可能平行，所以，设直线l的方程为y=- $\text{[math]}$ x+b，
代入椭圆方程得： $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ +b²-4=0
由于l与轨迹C交于不同的两点M，N，所以，△= $\text{[math]}$ -4（ $\text{[math]}$ ）（b²-4）＞0，即4k²-k²b²+1＞0（k≠0）（*）
又线段MN恰被直线x=- $\text{[math]}$ 平分，所以，x_M+x_N= $\text{[math]}$ =2×（- $\text{[math]}$ ）
所以bk= $\text{[math]}$ ，代入（*）可解得：- $\text{[math]}$ ＜k＜ $\text{[math]}$ （k≠0）
由于y=kx+m为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点P（- $\text{[math]}$ ，y₀）
在y=- $\text{[math]}$ x+b，中，令x=- $\text{[math]}$ ，可解得：y₀=- $\text{[math]}$ +b=-2k

将点P（- $\text{[math]}$ -2k）代入y=kx+m，可得：m=- $\text{[math]}$ k
所以- $\text{[math]}$ m＜ $\text{[math]}$ ，m≠0
分析：（Ⅰ）设抛物线的顶点为G，则焦点坐标可得，进而根据抛物线的定义可知：|AF|=点A到直线x=1的距离进而利用两点间的距离公式求得x和y的关系式求得抛物线顶点G的轨迹C的方程．
（Ⅱ）因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定所以，要求m的取值范围，还应该从直线l与轨C相交入手
设直线l的方程与轨迹C的方程联立消去y，根据判别式大于0求得k的不等式方程，进而根据线段MN恰被直线x=- $\text{[math]}$ 平分，求得x_M+x_N的表达式，进而求得bk，带代入到判别式求得k的范围，下面只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围．求得MN中点P的坐标，把x=- $\text{[math]}$ 代入即可求得y₀的表达式，将P点坐标代入直线方程求得k和m的关系式，进而根据m的范围求得k的范围．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．