Question

【题目】已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】设 ， ，当 时， ，函数 在 上为增函数， ，

设 ，

对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则

是 的不含极值点的单调区间的子集， ， 在 上递减，在 上递增，最小值 ， ，最大值为 ，①要使得对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则 的最大值不大于 的最大值 ，解得 ；② 在 上递减，在 上递增， 的值域为 时，有两个 值与之对应，若只有唯一的 ，则 的最小值要比 大，即： ，

综上： 的取值范围是 。
选答案为：D.

等式关于x恒成立，关于y能成立，问题转化为函数f(x)的值域是函数g(y)的不含极值点的单调区间的子集，是解题要点。