Question

设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且内切于圆x²+y²=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，又圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，从而列出关于a，b，c的方程求得a，b，c．最后写出椭圆M的方程；
（2）直线AB的直线方程：．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△PAB面积的最大值，从而解决问题．
解答：解：（1）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（2分）圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，
得：⇒
所求椭圆M的方程为．（6分）
（2）直线AB的直线方程：．
由，得，
由，得-2＜m＜2
∵，．
∴=（9分）
又P到AB的距离为．
则当且仅当取等号
∴． （12分）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．