Question

设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组；解之即得a，b，从而写出所求椭圆M的方程；
（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F （ 3，0 ），则直线AB的方程为y=k （ x-3 ），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|AB|+|CD|的最小值，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）⇒所求椭圆M的方程为…（3分）
（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F （ 3，0 ），则直线AB的方程为y=k （ x-3 ）有⇒（ 1+2k² ）x²-12k²x+18（ k²-1 ）=0
设点A （ x₁，y₁ ），B （ x₂，y₂ ）有x₁+x₂=，x₁x₂=
|AB|=
又因为k=tanθ=代入**式得|AB|=
当θ=时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=
而当θ=时，|AB|==
∴|AB|=
同理可得|CD|==
有|AB|+|CD|=+=
因为sin2θ∈[0，1]，所以 当且仅当sin2θ=1时，|AB|+|CD|有最小值是
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．