Question

设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证|AB|=；
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的性质求解．
（Ⅱ）将直线和椭圆方程联立，用韦达定理，再用弦长公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=+=，再用三角函数求得最值．
解答：解：（Ⅰ）根据题意可得：
⇒
所求椭圆M的方程为（4分）
（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），
则直线AB的方程为y=k（x-3）
有⇒（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
有x₁+x₂=，x₁x₂=
|AB|=**（6分）
又因为k=tanθ=代入**式得
|AB|=（8分）
当θ=时，直线AB的方程为x=3，
此时|AB|=（10分）
而当θ=时，|AB|==
综上所述所以|AB|=（11分）
（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，
同理可得|CD|==（12分）
有|AB|+|CD|=+=
因为sin2θ∈[0，1]，
所以当且仅当sin2θ=1时，
|AB|+|CD|有最小值是（16分）
点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆中弦长公式的应用，渗透了函数求最值的问题．