Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求证：CD⊥平面PAC；
（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（I）见解析；（II）存在，证明见解析.

解析试题分析：（I）先根据已知条件证明，那么就有，在根据题中已知边的长度，由勾股定理证明，根据直线与平面垂直的判定定理即可证明；（II）设的中点为， 连结，，，证明四边形为平行四边形，由直线与平面平行的判定定理可知，平面.
试题解析：（I）∵，∴.
又∵，，且，
∴. 
又，∴.                             3分
在底面中，∵，，
∴，有，∴.
又∵， ∴.                     6分
（II）在上存在中点，使得平面，                 8分
证明如下：设的中点为， 连结，，，如图所示：

则，且.           
由已知，，
∴，且，     10分
∴四边形为平行四边形，∴.
∵平面，平面，
∴平面.                                       12分
考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、勾股定理的应用；3、直线与平面平行的判定定理；4、平面与平面垂直的性质定理.