Question

已知函数f（n）=n²cos（nπ），且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（　　）

• A、f（n）=n²cos（nπ）
• B、-100
• C、a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=
• D、10200

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可以通过已知条件f（n）=n²cos（nπ），逐项求出f（1），f（2），f（3），f（4），…从而发现f（n）值的规律，再利用a_n=f（n）+f（n+1），逐项求出a₁，a₂，a₃，a₄，…从而发现a_n值的规律，进而对a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀进行组合求和，得到本题的解．

解答： 解：∵f（n）=n²cos（nπ），
∴f（1）=1²cosπ=-1²，
f（2）=2²×cos2π=2²，
f（3）=3²×cos3π=-3²，
f（4）=4²×cos4π=4²，
…
∴f（n）=（-1）ⁿn²．
∴a1=f(1)+f(2)=-12+22=3，
a2=f(2)+f(3)=22-32=-5，
a3=f(3)+f(4)=-32+42=7，
a4=f(4)+f(5)=42-52=-9，
…
a100=f(100)+f(101)=1002-1012=-101．
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₉₉+a₁₀₀
=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₉₉+a₁₀₀）
=50×（-2）
=-100．
故选B．

点评：本题考查了演绎推理和归纳推理思想，本题思维量不大，规律容易发现，属于基础题．