Question

在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．已知

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosC，sinC），且

m

-

n

=

3

2

．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=3，求a+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

m

•

n

=sinAcos C+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，求出sinB的值，即得锐角B 的值．
（2）由cosB=

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

，得到  （a+c）²-3ac=9，再由ac≤(

a+c

2

)2，可得9≥

(a+c)2

4

，从而得到a+c的最大值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=sinAcos C+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=

3

2

，故锐角B=

π

3

．
（2）∵B=

π

3

，∴cosB=

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

，∴b²=（a+c）²-3ac=9，
∵ac≤(

a+c

2

)2，∴9≥

(a+c)2

4

，∴a+c≤6，
故a+c的最大值为 6．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，余弦定理，基本不等式的应用，得到 b²=（a+c）²-3ac=9，时间诶体的关键．