各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.满足2(Sn+1)=an2+an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式,(2)若数列{bn}满足b1=2.bn+1=2bn(n∈N*).数列{cn}满足cn=an.n=2k-1bn.n=2k(k∈N*).数列{cn}的前n项和为Tn.求Tn,(3)若数列Pn=n24+24n(n∈N*).甲同学利用第(2)问中的Tn.试图确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足cn=

an，n=2k-1

bn，n=2k

(k∈N*)，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若数列Pn=

+24n(n∈N*)，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_2k-P_2k（k∈N^*）的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

分析：（1）由题意及2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*），令n=1，求得数列的首项，在利用已知数列的前n项和求出数列的通项；
（2）数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），可以求出数列b_n的通项公式，再有数列{c_n}满足cn=

an，n=2k-1

bn，n=2k

(k∈N*)，利用分组求和求出数列c_n的前n项的和；
（3）由题意及（2）可知n为偶数，即dn=A-B=Tn-Pn=

•2n-

，由于d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47分析该式即可．

解答：解：（1）n=1，2（S₁+1）=a₁²+a₁?a₁=2．

n≥2，2(Sn+1)=an2+an

2(Sn-1+1)=an-12+an-1

，
两式相减，得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．
?{a_n}为等差数列，首项为2，公差为1
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）∵{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*），
n为偶数时，T_n=（a₁+a₃++a_n-1）+（b₂+b₄++b_n）
=

(a1+an-1)•

4(1-4

)

1-4

n2+2n