题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
，
•
=
，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-
，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 4 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-
| 6 |
| 5 |
分析：（1）设出P点坐标，由|OP|=
得关系式，再由
•
=
得关系式，两式联立求出c，再由离心率求得a，结合b2=a2-c2求出b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和，由中点坐标公式求出A，B的中点，若否存在直线l，使得△QAB为等腰三角形，则AB中点与Q的连线与AB垂直，由斜率之积等于-1列式求k的值，此时得到了矛盾式子，说明使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
| ||
| 2 |
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 4 |
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和，由中点坐标公式求出A，B的中点，若否存在直线l，使得△QAB为等腰三角形，则AB中点与Q的连线与AB垂直，由斜率之积等于-1列式求k的值，此时得到了矛盾式子，说明使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
解答：解：（1）设P（x0，y0），∵|OP|=
，∴x02+y02=
①
又
•
=
，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=
，即x02-c2+y02=
②
①代入②得：c=
．又e=
，∴a=2，b=1．
故所求椭圆方程为
+y2=1；
（2）直线l的方程为y=k(x+
)，
联立
，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0．
x1+x2=-
，x1x2=
．
设AB的中点M（x0，y0），
则x0=-
，y0=k(
-
)=
．
所以kMQ=
=
．
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即
•k=-1，此式无解，
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
| ||
| 2 |
| 15 |
| 4 |
又
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
①代入②得：c=
| 3 |
| ||
| 2 |
故所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
（2）直线l的方程为y=k(x+
| 6 |
| 5 |
联立
|
x1+x2=-
| 240k2 |
| 25+100k2 |
| 144k2-100 |
| 25+100k2 |
设AB的中点M（x0，y0），
则x0=-
| 120k2 |
| 25+100k2 |
| 6 |
| 5 |
| 120k2 |
| 25+100k2 |
| 30k |
| 25+100k2 |
所以kMQ=
| ||
2-
|
| 3k |
| 5+8k2 |
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即
| 3k |
| 5+8k2 |
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数关系，考查了学生的运算能力，是难题．
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