Question

设椭圆的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过N点作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以AB为直径的圆过点F₁，试求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题设知c=2，，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线AB⊥x轴时，设AB的方程为y=k（x+3），由，然后由韦达定理结合题设条件进行求解．
解答：解：（1）c=2，
∴椭圆方程为（4分）
（2）当直线AB⊥x轴时，
与椭圆无公共点，∴可设AB的方程为y=k（x+3）
由
即（3k²+1）x²+18k²x+27k²-6=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有（4分）
依题设有，
即（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0（2分）x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=0（k²+1）x₁x₂+（3k²+2）（x₁+x₂）+9k²+4=0（4分）
将
∴时问题的解
∴AB的方程为（2分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意挖掘题设中的隐含条件．