题目内容
矩形
的中心在坐标原点，边
与
轴平行，=8，
=6.
分别是矩形四条边的中点，
是线段
的四等分点,
是线段
的四等分点.设直线
与
,
与
,
与
的交点依次为
.
（1）以
为长轴，以
为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.
（3）设线段的
（
等分点从左向右依次为
，线段的等分点从上向下依次为
，那么直线
与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
（1）
；（2）详见解析；（3）
解析试题分析：根据长轴长
,短轴长
,可求出椭圆的方程；根据点
的坐标可写出直线的方程，同理也可写出直线
的方程，再求出它们的交点
的坐标，验证在椭圆上即可得证；类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．
试题解析：
根据题意可知，椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为
，
因为长轴长,短轴长，所以
，
所以所求的椭圆的标准方程为：．
由题意知，
可得直线的方程为
，直线的方程为
，
联立可解得其交点
，将的坐标代入椭圆方程成立，即点在椭圆上得证．
另法：设直线、交点
，
由
三点共线得：
①
由
三点共线得：
②
①②相乘，整理可得
，即
所以L在椭圆上．
（3）类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．
考点：本题考查了直线的方程，椭圆的方程的求解方法，以及直线与圆锥曲线的位置关系．
练习册系列答案
相关题目
的长轴为AB,过点B的直线
与
,F为椭圆的左焦点,且
轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线
,
为
的中点，判定直线
与以
为直径的圆O位置关系。
，焦点在
轴上的抛物线过点
.
交于
、
两点，求证：
.
的直线过抛物线
的焦点，与抛物线交于两点A、B， M为抛物线弧AB上的动点．
，求抛物线的方程；
的最大值．
，若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
.
的方程；
，使得直线
与椭圆
两点，与圆
两点，点
在线段
上，且
，求圆
的取值范围.
，动圆P过定点F与定直线相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C
的顶点为原点，其焦点
到直线
的距离为
．设
为直线
上的点，过点
，其中
为切点．
为直线
的方程；
在直线
的最小值．
,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,
有最小值
．
(其中
)于A、B两点,求|AB|的取值范围．