Question

已知椭圆，过点（2，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求切线l的方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出切线l的点斜式方程：y=k（x-2），由题意原点到直线l的距离等于1，利用点到直线距离公式建立关于k的方程解出k=，可得切线l的方程；
（2）直线l方程与椭圆方程消去y，得到7x²-16x-32=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系算出|x₁-x₂|=，再由弦长公式即可算出弦AB的长．
解答：解：（1）设切线l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0
∵直线l与圆x²+y²=1相切
∴原点到直线l的距离d==1，解之得k=
∴切线l的方程为
（2）由与消去y，
得7x²-16x-32=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴|x₁-x₂|==
因此，弦AB的长|AB|=•|x₁-x₂|=×=．
点评：本题给出直线与圆相切，求切线方程并求切线被椭圆截得线段的长．着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和弦长公式等知识，属于中档题．