题目内容

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= $数学公式$ ．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求点E到平面ACD的距离；
（III）求二面角A-CD-B的余弦值．

证明：（I）△ABD中，∵AB=AD= $\text{[math]}$ ，O是BD中点，BD=2
∴AO⊥BD且 $\text{[math]}$ =1
△BCD中，连接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且 $\text{[math]}$
△AOC中AO=1，CO= $\text{[math]}$ ，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD．（5分）
解：（II）如图建立空间直角坐标系，设平面ACD的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）则
$\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ．（7分）

令y=1得 $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ）是平面ACD的一个法向量．．（8分）
又 $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0）
∴点E到平面ACD的距离h= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（10分）
（III）∵AO⊥平面BCD
∴ $\text{[math]}$ =（0，0，1）为平面BCD的一个法向量；
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则二面角A-CD-B的余弦值为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（I）如图所示，要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，结合已知条件，根据勾股定理即可得到答案．
（II）以O为原点，以OB，OC，OA方向为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系，求出平面ACD的法向量的坐标，根据点E到平面ACD的距离h= $\text{[math]}$ ，可求出点E到平面ACD的距离；
（III）结合（II）中结论，再由AO⊥平面BCD，即 $\text{[math]}$ 为平面BCD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-CD-B的余弦值．
点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，空间点到平面的距离，二面角的平面角，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间距离和夹角问题．