Question

【题目】如图，已知直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）连接，由三棱柱是直三棱柱，得⊥面,得到，，又在直角三角形中，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面；

（Ⅱ）过作，连接,交于点，过作,交于点，利用线面垂直的判定定理，证得面,得到面，求得，利用体积公式，即可求解。

（Ⅰ）连接，在中，依题意为等腰三角形且，

由面积相等，解得，

由于三棱柱是直三棱柱，故⊥面,

那么.

在直角三角形中，因为，

所以，又由，所以，

又因，故为直角，即，

又由，所以得面，所以,

由,

故面.

（Ⅱ）过作，连接,交于点，过作,交于点，

因为面，所以,

又因,所以面,所以面，

又由，所以，

所以.