Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，．
（1）若，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点，从而可得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）假设存在符合条件的实数λ，验证A₁C⊥BD．要使A₁C⊥平面PBD，只需BP⊥A₁C，利用，即可求得实数λ．
解答：解：（1）如图，分别以DA，DC，D D₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
由得，
所以，
所以，
所以，直线PB与PD所成角的正弦值为．（5分）
（2）假设存在符合条件的实数λ，
因为，所以，故A₁C⊥BD．
要使A₁C⊥平面PBD，只需BP⊥A₁C，由得P（1-λ，λ，1-λ），
此时，由得．（10分）
点评：本题主要考查空间向量的应用，考查线线角，考查线面垂直，考查运算求解能力，属于中档题．